Jzed

Přetlaková turbina

čerpadlo   rotující kanál   Energie vody.
Oběžné kolo turbiny se skládá z náboje a věnce, mezi nimiž jsou umístěny zakřivené oběžné lopatky. Dvě sousední lopatky a části věnce a náboje tvoří rotující kanál. Oběžné kolo má právě tolik kanálů, kolik má lopatek. Kapalina je přiváděna z horní nádrže přes spirálu a rozváděcí lopatky na oběžné kolo. Rozváděcí lopatky jsou vhodně zakřiveny, aby udělily vodě obvodovou složku absolutní rychlosti.
Rotující kanály lze považovat za úzké a předpokládat v nich jednorozměrné proudění po dráze
1 - 2. V těchto kanálech je vodě odebírána energie z hlediska absolutního pozorovatele.
Z oběžného kola voda vystupuje v místě konce oběžných lopatek (místo 2) a vstupuje do savky, která končí v místě 3.
Řešení energetických poměrů provedeme za použití Bernoulliovy rovnice. V místě 0 - 1 a 2 - 3 z hlediska absolutního prostoru, v místě 1 - 2 z hlediska relativního prostoru (rotující kanál, který se otáčí stálou rychlostí ω kolem svislé osy). V relativním i v absolutním prostoru předpokládáme ustálené proudění.

Místo 0 - 1:  

Místo 1 - 2 (rotující kanál):  

Místo 2 - 3:  

V turbině se mění energie kapaliny z hlediska absolutního pozorovatele. Obecně lze změnu měrné energie mezi body 1 a 2 psát jako rozdíl měrné energie v bodě 1 a 2, tedy: ΔY = Y1 - Y2 .

Pro náš případ značení výšek z platí:

    takže:  

Do této rovnice dosadíme z rovnic psaných pro místo 0 - 1 a pro místo 2 - 3 a získáme ΔY mezi body 1 a 2 jako funkci vnějších veličin:


Horní nádrž bývá velice rozlehlá, takže c0 je přibližně rovno nule.

Tlak p0 je tlak atmosférický, tlak p3 je hydrostatický tlak v hloubce z'3,     p3 = z'3 · ρ · g + p0 .

S těmito zavedenými veličinami je možno upravit vztah pro změnu měrné energie mezi body 1 a 2 do tvaru: ΔY = g (z1 + z2 + z3) - Yz0,1 - Yz2,3 - ( c3² / 2 ) .

Označíme-li výšku Z = z1 + z2 + z3  (geodetický rozdíl výšky horní a spodní hladiny, tzv.hrubý spád), změna měrné energie mezi body 1 a 2 je dána vztahem: ΔY = gZ - Yz0,1 - Yz2,3 - ( c3² / 2 ) .

Ztráty vně turbiny jsou: Yz0,1 , Yz2,3 , výtoková (Bordova) ztráta:   c3² / 2 .

Bordova ztráta existuje i u ideální kapaliny. Není to ztráta v pravém slova smyslu, kapalina musí z turbiny odtéci, takže tím je snížena využitelná měrná energie pro zpracování vodní turbinou.

Měrná energie využitelná v turbině je dána polohovou měrnou energií odpovídající výškovému rozdílu hladin horní a dolní nádrže Z, od níž se odečítá měrná energie ze ztrát vně turbiny.

Umístění turbiny u spodní hladiny je dáno pouze kavitačními vlastnostmi oběžného kola, jinak není pro energetickou přeměnu rozhodující. Pro tu je rozhodující spád Z. Ve stroji nemá vzniknout tlak nižší než je napětí nasycených par. Nejnižší tlak bývá v místě 2. Tento požadavek vede k uložení turbiny blízko u spodní hladiny, nebo pod ní.

Hydraulická účinnost turbiny

je definována jako poměr změny měrné energie ideální kapaliny ke změně měrné energie skutečné kapaliny při stejném průtoku, tedy:    a to proto, že ztráty se kryjí z tlakové měrné energie (rychlosti i výšky jsou u ideální a skutečné kapaliny stejné), rozdíl   , což je rozdíl tlakové měrné energie mezi bodem 1 a 2 je u skutečné kapaliny větší, .
Proto ΔYid < ΔY, lze s ohledem na Bernoulliovy rovnice psát:

a moment na hřídeli turbiny:     =>  

Hydraulická účinnost oběžného kola turbiny se určuje experimentálně. Tlak před oběžným kolem turbiny (p1) je větší než tlak za ním (p2), turbina se proto nazývá přetlaková. Energetické ztráty jsou nízké, jsou-li rychlosti (absolutní i relativní) nízké.

^ top ^  

Hydrodynamické čerpadlo

Stroj je funkčně inverzní k turbině, v oběžném kole dochází k předávání energie kapalině (obr.č.1).
Označení tlaku:
ps : tlak nad hladinou v sací nádrži,
pv : tlak nad hladinou ve výtlačné nádrži.
Tlaky ps a pv nemusí být tlaky atmosférické.

Oběžné kolo je tvořeno principielně tak, jako u turbiny. U hydrodynamického čerpadla získává voda v oběžném kole energii. Za oběžným kolem je difuzor, v němž se přeměňuje kinetická energie čerpané kapaliny na energii tlakovou. Difuzor je vytvořen jako lopatkové nebo bezlopatkové kolo.

obr-1-čerpadlo

Bernoulliovy rovnice:

0-1 (absolutní prostor):  

1-2 (relativní prostor - rotující kanál):  

2-3 (absolutní prostor):   neboť p3 = pv.

Změna měrné energie kapaliny v oběžném kole čerpadla:

, protože Y2 > Y1

(měrná energie kapaliny je na výstupu z oběžného kola vyšší než na vstupu). Rovnice mezi hladinou v sací nádrži a vstupem do sacího potrubí je:

,

kde Yvt je ztrátová měrná energie na vstupu do sacího potrubí (může zde být nasazen sací koš apod.). Uvažujeme, že rychlost na hladině v sací nádrži i ve výtlačné nádrži je malá (cs = 0, c3 = 0).
Potom platí:

,

.

Změna měrné energie kapaliny v oběžném kole je:

Ztráty vně oběžného kola čerpadla: Yzv = Yvt + z0,1 + Yz2,3 , lze tedy psát:

.

Při zkoumání proudových poměrů uvnitř kola musíme do rovnice

dosadit z Bernoulliovy rovnice, psané v relativním prostoru mezi body 1- 2, takže:

, a dále:

.

V každém rotujícím kanálu platí rychlostní trojúhelník . Jeho aplikací na místa 1,2 dostaneme obdobně, jako u turbiny: ΔYc = (u2cu2 - u1cu1) - Yz1,2.

Určení Yz1,2 je obtížné, proto zavedeme hydraulickou účinnost jako poměr skutečné předané měrné energie ΔYc a měrné energie předané za předpokladu proudění ideální kapaliny beze ztrát
Yid = u2cu2 - u1cu1), takže .

Předaná měrná energie skutečné kapalině je proti ideální kapalině menší o ztráty. Změna rychlostních energií je pro obě kapaliny stejná (při stejném průtoku), tlak v místě 2 je tedy u skutečné kapaliny menší, neboť ztráty se kryjí z tlakové měrné energie.

Tedy ΔYc < ΔYαd a platí: ΔYc = ηhΔYαd = ηh(u2cu2 - u1cu1).

Moment na oběžném kole čerpadla získáme aplikací výsledků pro rotující kanál s uvážením

      ,

a protože u2 = r2 · ω,u1 = r1 · ω , moment M = ρ · Q · ηh · (r2cu2 - r1cu1).

Oběžné kolo čerpadla se navrhuje tak, aby relativní rychlosti byly poměrně malé a mech. energie se měnila přímo na energii tlakovou, proto se snažíme, aby výraz [(p2 - p1)/ρ] byl poměrně velký. Tedy člen [(u2² - u1²)/2] má být pro tento případ velký, kapalina musí proudit ve smyslu rostoucího poloměru (odstředivě). Čerpadlo na obr.1 je čerpadlo odstředivé, radiální. Existují i čerpadla axiální (r2 = r1), které dosahují menší změny ΔYc, ale jsou navrhovány na vyšší průtoky.

^ top ^  
rotor
^ top ^  

Bernoulliova rovnice v relativním prostoru - rotující kanál

Jako relativní prostor uvažujeme část potrubí (kanál) rotující kolem svislé osy úhlovou rychlostí ω = konst.
místo 1 - vstup kapaliny do potrubí
místo 2 - výstup kapaliny z potrubí.

Jedná se o ustálené proudění v relativním prostoru, at= 0. V relativním prostoru platí rovnice kontinuity v·S = konst., případně v1·S1 = v2·S2 . Vztah mezi absolutní rychlostí , unášivou rychlostí a relativní rychlostí je dán vektorovou rovnicí (viz obr.1): .

Bernoulliova rovnice ve tvaru:  
platí i v relativním prostoru, existuje-li potenciál vnějšího zrychlení U, který má složku do směru osy proudění (jen takové objemové zrychlení uvažujeme při odvozování Eulerovy rovnice hydrodynamiky a Bernoulliovy rovnice). Do Bernoulliovy rovnice musíme určit potenciál vnějšího zrychlení U. Relativní prostor (r,z,φ) je spojen s kanálem dle obr.č.1 a otáčí se s ním úhlovou rychlostí ω. V tomto relativním prostoru je proudění stacionární. V souřadném prostoru pevném, který by se s tímto kanálem neotáčel, by bylo proudění nestacionární (rychlosti kapaliny by byly nulové s výjimkou okamžiku, kdy by tímto prostorem procházel rotující kanál). Rotující souřadný systém kolem osy z umožňuje řešit úlohu jako rovinný příklad s proměnnými r, z. Na částici tekutiny (na poloměru r) působí zrychlení od otáčivého pohybu (Ar= rω²), gravitační zrychlení (Az= -g) a Coriolisovo zrychlení , takže Ac = 2sinα, kde α je úhel sevřený vektory a .
Coriolisovo zrychlení je kolmé na rychlost , tedy kolmé na osu potrubí a nemá žádnou složku do směru osy potrubí. Z další úvahy ho proto vyloučíme, neboť potenciál vnějšího zrychlení U nemá od tohoto zrychlení složku do směru osy proudění. Úplný přírůstek potenciálu v libovolné meridiální rovině (meridiální rovina je dána vztahem: φ = konst.), je dán:

(derivace potenciálu jsou rovny příslušným objemovým zrychlením),

dU = r·ω²·dr – g·dz, a tedy potenciál U v rotujícím kanálu v meridiální rovině

je:
Nyní dosadíme potenciál U do Bernoulliovy rovnice a obdržíme (at= 0):

Protože unášivá rychlost  u = r·ω, lze rovnici upravit do tvaru:

Rovnice říká, že měrná energie kapaliny se v relativním prostoru nemění. To je pochopitelné, neboť síly, kterými působí potrubí na kapalinu, se v relativním prostoru nepohybují a nemohou konat práci. Měrná energie kapaliny se v relativním prostoru nemění. Z hlediska absolutního pozorovatele (který stojí mimo rotující soustavu v pevném absolutním prostoru) se měrná energie kapaliny při průtoku rotujícím kanálem může měnit. Její změna při průtoku z místa 1 do místa 2 z hlediska absolutního prostoru je:

  pro čerpadlový směr toku kapaliny. Tlaky (p) a výšky (z) jsou v absolutním a relativním prostoru stejné. Protože z Bernoulliovy rovnice v relativním prostoru platí, že:

,   tedy:

,   neboli:

.
Poslední rovnice vyjadřuje změnu měrné energie kapaliny pomocí měrných kinetických energií a ztrátové měrné energie. Kdyby kanálem proudila ideální kapalina, byly by energetické ztráty nulové (Yz1,2 = 0), pak bychom dostali ideální změnu měrné energie:

Podle obr.1, kde je nakreslen i rychlostní trojúhelník, můžeme s ohledem na kosinovou větu psát:

v² = c² + u² – 2cucosα = c² + u² – 2cuu ,  kde cu je složka vektoru absolutní rychlosti do směru rychlosti . Aplikujeme-li tento vztah do rovnice pro ideální změnu měrné energie, dostaneme

Změna měrné energie při průtoku skutečné kapaliny je: ΔY = ΔYid – ΔYz1,2 ,  (ΔYid > ΔY).

Je - li ΔY > 0, kanál energii kapalině dodává, jedná se o čerpadlo.
Je - li ΔY < 0, kapalina dodává energii kanálu, jedná se o turbinu.
Je - li ΔY = 0, energie se nepředává, jedná se o tzv. indiferentní kolo.

Moment na hřídeli kanálu - Eulerova turbinová rovnice:

Protéká-li kanálem hmota ρ·Q [kg/s], pak výkon P = ρ·Q·ΔY .

Na hřídeli kanálu existuje moment:

.

Protože u1 = r1·ω , a  u2 = r2·ω ,  lze ještě výraz upravit:

Skutečný moment předaný rotujícím kanálem kapalině je menší než moment předaný ideální kapalině. Moment, odpovídající průtoku ideální kapaliny je:

Mid = ρ·Q·(r2cu2 r1cu1) .

Moment třecích sil mezi kapalinou a stěnami potrubí je:

Uvažované vnější zrychlení odstředivé (Ar= rω²) a tíhové (Az= -g) nemají k ose rotace moment. Vnější Coriolisovo zrychlení, které se podílí na vytvoření momentu je kolmé na osu rotace kanálu a na relativní rychlost kapaliny, vnější síla jím působená má obecně moment k ose rotace.

^ top ^
Ing. Miloslav Haluza, CSc.             Energie vody
2007 © rev. Jzed lu: 2008